Irrasjonale

Irrasjonale tall er realnumre som ikke kan uttrykkes som forholdet mellom to heltall. Med andre ord er de ikke rasjonale tall. Desimalutviklingen til irrasjonale tall er uendelig og ikke-periodisk.

Eksempler er kvadratrot av 2, pi og e. Kvadratrot av 2 kan ikke uttrykkes som et forhold mellom to heltall; pi og e er også ikke rasjonale. Pi er forholdet mellom omkrets og diameter i en sirkel, mens e er grunntallet i den naturlige logaritmen.

Historisk har irrasjonale tall spilt en viktig rolle i utviklingen av realtallslæren. Kvadratrot av 2 ble blant de tidlige bevisene for at ikke alt tall kan uttrykkes som forhold mellom heltall, og senere ble det vist at også pi og e er irrationale. Det finnes et uendelig antall irrasjonale tall mellom hvert par reelle tall.

I praksis har irrationale tall mange egenskaper som er sentrale i analyse og tallteori. Mellom to reelle tall finnes det alltid irrationale tall. Summen av en rasjonal og en irrasjonal er irrasjonalt; summen av to irrationale tall kan være rasjonell eller irrationell. Produktet av et ikke-null rasjonalt tall og et irrationalt tall er alltid irrationelt.

Innen matematikk deles irrationale tall ofte inn i to grupper: algebraiske irrationale, som er løsninger til polynomer med heltalls koeffisienter, og transcendentale irrationale tall, som pi og e. Irrasjonale tall utgjør en grunnleggende del av realtallene og har bred anvendelse i analyse, sannsynlighet og tallteori.