Integrálhatók

Integrálhatók azok a függvények és jelenségek, amelyekre értelmezhető és kiszámítható az integrál. A kifejezést a matematika különböző ágaiban használják, leggyakrabban a Riemann- és a Lebesgue-integrál kontextusában. E szerint beszélhetünk arról, hogy egy függvény integrálható, vagy hogy egy adott tárgy integrálja elérhető-e.

Riemann-integrálhatóság: Legyen f: [a, b] → R korlátos függvény. Ha a megszakításainak halmaza mérték-nullával rendelkezik, akkor f Riemann-integrálható. Ekkor a függvény területe vagy összegzett értéke meghatározható. Minden folytonos függvény például Riemann-integrálható. Bizonyos függvények azonban nem Riemann-integrálhatók, például a Dirichlet-függvény (1 a racionalisokon, 0 az irracionálisokon) minden ponton megszakítása miatt nem.

Lebesgue-integrálhatóság: Lebesgue-integrálható függvény f egy mérőterű X → R akkor, ha ∫ |f| dμ < ∞. Ez a fogalom kibővíti a Riemann-integrálhatóságot: létezhet olyan függvény is, amely nem Riemann-integrálható, de Lebesgue-integrálható, például a Dirichlet-függvény Lebesgue-integrálható értéke 0. A Lebesgue-integrálhatóság ráadásul más típusú függvényekre és területekre is értelmezhető.

Gyakorlati megjegyzések: integrálhatóság gyakran kiterjeszthető végtelen vagy nyitott intervallumokra úgy, hogy az impropriete integrálok határértékként lépnek elő. Összességében az integrálhatók fogalma a területek, várható értékek és összegző mennyiségek kiszámításának alapja.