Lebesgueintegrálható

Lebesgue-integrálható függvény olyan méréses térben definiált valós értékű függvény, amely mérhető és teljesül, hogy abszolút értékének integrálja véges: ∫_X |f| dμ < ∞. Ilyen függvények az L^1(μ) tér elemei; az integrálható függvényekre az ∫_X f dμ értéke véges. Ezt az értéket a pozitív és a negatív részfüggvények összegeként határozzuk meg: f^+ = max(f,0), f^- = max(-f,0), és ∫ f dμ = ∫ f^+ dμ − ∫ f^- dμ, mindkét rész véges kell legyen.

Példák és összefüggések: egy mérhető halmaz A esetén χ_A a jelölőfüggvény, és ∫ χ_A dμ = μ(A). A Dirichlet-függvény, amely a Q-s számokra 1, másokra 0 a [0,1]-en, Lebesgue-integrálható és ∫ f dμ = 0, míg nem Riemann-integrálható. Fontos megjegyzés, hogy két függvény egyenlő a μ-ae (a.e.)-egyéből következően ugyanazt az L^1(μ) elemet képezi, azaz az egyenlőség a nullavizsgált halmazon alapul.

Szimbolika és tulajdonságok: az L^1(μ) normája ||f||_1 = ∫ |f| dμ adja meg a természetes Banach-tér szerkezetet; az L^1-ben a lineáris, pozitív és monotone tulajdonságok érvényesek, valamint fontos konvergencia-tételek alkalmazhatók, például a Monotone Convergence és a Dominated Convergence Theorem. A Lebesgue-integrálható függvények általánosabbak, mint a Riemann-integrálható függvények: minden Riemann-integrálható függvény Lebesgue-integrálható, és léteznek Lebesgue-integrálható, de nem Riemann-integrálható példák is.