Riemannintegrálhatóság

Riemannintegrálhatóság egy függvény zárt intervallumon való Riemann-integrálhatóságát jelenti. Egy f: [a,b] → ℝ függvényt Riemannintegrálhatónak nevezzük, ha f korlátozott, és létezik az I = ∫_a^b f(x) dx, amelyhez a Riemann-summák, a kiválasztott pontoktól függetlenül, a particionálás finomításával a közös értéket közelítik. Ezt a meghatározást gyakran Darboux-summákkal fejezik ki: L(f,P) = Σ m_i Δx_i és U(f,P) = Σ M_i Δx_i, ahol m_i és M_i az i-edik alintervallumon adott minimum és maximum, és a függvény integrálhatósága akkor áll fenn, ha sup_P L(f,P) = inf_P U(f,P).

Fontos tulajdonságok: minden folytonos függvény a [a,b] zárt intervallumon Riemannintegrálható. A Lebesgue-kritérium szerint egy korlátozott f [a,b]-n akkor Riemannintegrálható, ha a diszcontinuitások halmaza Lebesgue-mértéke zérus. Ennek következtében például a véges számú diszcontinuitású vagy mérték-zero diszcontinuitású függvények is integrálhatóak, illetve monotone vagy piecewise folytonos függvények is.

Példák: a Dirichlet-függvény (f(x)=1, ha racionális, 0, ha irracionális) nem integrálható [0,1]-en; Thomae-függvény viszont integrálható és értéke 0. A fundamentális tétel összefüggésbe hozza az integrálhatóságot az antideriválokkal: ha f folytonos [a,b]-n, akkor F(x)=∫_a^x f(t) dt antiderivált, és ∫_a^b f = F(b) − F(a).