Integralzeichen

Das Integralzeichen ∫ wird in der Mathematik verwendet, um das Konzept der Integration zu notieren. Es wurde von Gottfried Wilhelm Leibniz eingeführt und stellt ein stilisiertes längeres S dar, das aus dem lateinischen Wort summa abgeleitet ist. Die Notation symbolisiert die Idee der Akkumulation über einen Bereich oder über eine Funktion hinweg.

Es gibt unbestimmte und bestimmte Integrale. Das unbestimmte Integral, ∫ f(x) dx, bezeichnet eine Familie von Antiderivaten von f. Das bestimmte Integral, ∫_a^b f(x) dx, misst die Summe oder das Netton-Accumulationenwert über das Intervall [a,b], beispielsweise die Fläche unter der Kurve y=f(x) zwischen a und b. In der Praxis entspricht es oft der Grenzwertbildung von Riemann-Summen.

Historisch bildet das Riemann-Integral die formale Grundlage der klassischen Analysis, definiert als Grenzwert über feinteilende Unterteilungen. Das Fundamentale Theorem der Analysis verbindet Integration und Differentiation: Die Ableitung einer Antiderivative liefert die ursprüngliche Funktion, und das Integral der Ableitung über ein Intervall ergibt die Änderung der Antiderivative.

Neben eindimensionalen Integralen existieren verschiedene Generalisierungen. Linienintegrale ∫_C f ds, Oberflächenintegrale ∬_S f dS, Volumen- bzw. Mehrfachintegrale ∭, sowie in der komplexen Analysis Konturintegrale ∮. Das Integralzeichen dient auch in Physik, Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung wichtigen Berechnungen, etwa zur Bestimmung von Erwartungswerten oder physikalischer Größen wie Arbeit und Flächen.