Integraaliyhtälöissä

Integraaliyhtälöissä tuntematon funktio esiintyy integraalimerkinnän sisällä. Nämä yhtälöt ovat keskeisiä monilla matematiikan, fysiikan ja insinööritieteiden aloilla. Yleisimmin integraaliyhtälöt jaetaan kahteen päätyyppiin: Fredholmin ja Volterran integraaliyhtälöihin.

Fredholmin integraaliyhtälöissä integrointirajat ovat vakioita. Ne voivat olla ensimmäisen tai toisen lajin yhtälöitä riippuen siitä, esiintyykö tuntematon funktio integraalin ulkopuolella vai ainoastaan sen sisällä. Toisen lajin Fredholmin yhtälö on muotoa $f(x) = g(x) + \lambda \int_a^b K(x, t) f(t) dt$, missä $f(x)$ on tuntematon funktio, $g(x)$ ja $K(x, t)$ ovat tunnettuja funktioita, $\lambda$ on vakio ja $a, b$ ovat integrointirajoja.

Volterran integraaliyhtälöissä vähintään toinen integrointiraja on muuttuja, yleensä yläraja. Kuten Fredholmin yhtälöissä, myös Volterran yhtälöt jaetaan ensimmäisen ja toisen lajin yhtälöihin. Toisen lajin Volterran yhtälön yleinen muoto on $f(x) = g(x) + \lambda \int_a^x K(x, t) f(t) dt$.

Integraaliyhtälöiden ratkaisumenetelmiä ovat muun muassa Picardin iteraatiot, Neumannin sarjat, degeneroituneiden ytimien menetelmä ja numeeriset approksimaatiot. Näiden yhtälöiden ratkaiseminen mahdollistaa monimutkaisten ilmiöiden mallintamisen ja analysoinnin.