Injetiva

Injetiva, em matemática, é a propriedade de uma função de maps de um conjunto A para um conjunto B, de modo que elementos distintos de A tenham imagens distintas em B. Formalmente, uma função f: A → B é injetiva se, para quaisquer x1, x2 em A, f(x1) = f(x2) implica x1 = x2. Em outra formulação, x1 ≠ x2 sempre leva a f(x1) ≠ f(x2). A palavra descreve uma correspondência um-para-um entre os elementos de A e seus valores em B.

Exemplos comuns ilustram o conceito. A função f(x) = 2x: R → R é injetiva, pois se 2x1 = 2x2, então x1 = x2. A função g(x) = x^2 é não injetiva em R, já que g(-1) = g(1); no entanto, é injetiva em R≥0. A função f(n) = n + 1 de Z para Z também é injetiva. A função identidade id_A: A → A, definida por id_A(x) = x, é sempre injetiva.

Injetividade é distinta de sobrejetividade; uma função pode ser injetiva sem ser sobrejetiva, e uma bijeção é uma função que é simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Em conjuntos finitos, a existência de uma injeção de A para B implica |A| ≤ |B|. O teorema de Cantor–Schröder–Bernstein afirma que, se existirem injeções de A para B e de B para A, então há uma bijeção entre A e B. Funções injetivas também possuem meio de inversão parcial: se f é injetiva, existe uma função que atua como left-inverse em A, restaurando cada elemento de A a partir de sua imagem f(A). As injeções são usadas para comparar tamanhos de conjuntos, construir imersões entre estruturas e estudar propriedades de função em diversas áreas da matemática.