Indikatorfunktioner

Indikatorfunktioner, även kallade karaktäristiska funktioner, är funktioner som anger medlemskap i en given delmängd. För en mängd X och en delmängd A ⊆ X definieras indikatorfunktionen 1_A: X → {0,1} av 1_A(x) = 1 om x ∈ A och 0 om x ∉ A. Ibland skrivs 1_A(x) som χ_A(x). Om A är mätbar i ett mätrum (X, F) är 1_A också mätbar.

Egenskaperna hos indikatorfunktioner är enkla men kraftfulla. Värdet ligger alltid i mängden {0,1}. Vid integration eller förväntning får man betydelsen uppenbar: ∫_X 1_A dμ = μ(A) i måttteori, och E[1_A] = P(A) i sannolikhetsteori. Indikatorfunktioner följer booleska regler: 1_{A∪B} = 1_A ∨ 1_B och 1_{A∩B} = 1_A · 1_B, vilket gör dem användbara för att uttrycka mängdoperationer med funktioner.

Användningar innefattar konstruktion av enkla funktioner (simple functions) inom analys och måttteori, där man skriver mer komplexa mått- eller sannolikhetsfunktioner som summor av indikatorer. De används också för att beskriva händelser i stokastiska modeller, för att uttrycka villkor i integration och för att tillämpa stegvis approximativ behandling av funktioner.

Exempel: 1_{x>0} på R är en indikatorfunktion som tar värdet 1 för positiva x och 0 annars. Indikatorfunktioner är grundläggande byggstenar inom flera områden av matematisk analys och sannolikhet.