Indeksteorier

Indeksteorier er en gren av differensialgeometri og global analyse som studerer indekset til elliptiske differensialligningsoperatører på mangfoldigheter. Indekset defineres som forskjellen mellom dimensjonen til kjernen og dimensjonen til cokern til en operatør, og fungerer som en viktig global egenskap ved analysen av ligningene.

Historisk sett ble ideen koblet til topologiske invariants gjennom resultater som Gauss–Bonnet og Hirzebruch–Riemann–Roch før den ble samlet i Atiyah–Singer-indeksteoremet i 1963. Dette teoremet viser at indekset til en elliptisk operator er en topologisk invariant som kan beregnes ved hjelp av symbol og K-teori, og dermed binder sammen analyse og topologi. Alternative framstillinger er vist gjennom varmekernelmetoder, slik som McKean–Singer-formelen; i spesialtilfeller gir de kjente teoremer som Euler-karakteristikk og Hirzebruch–Riemann–Roch.

Hovedideen i indeksteorier er å bruke analytiske beskrivelser av en operator (indeksen som kjernen minus cokernen) og koble dem til topologiske data som symbolklasse i K-teori og Chern-karakteren. Indeksen er konstant under passende deformasjoner av operatoren og gir dype forbindelser mellom geometri, topologi og analyse.

Anvendelser finnes i geometri og topologi, i teoretisk fysikk (for eksempel kvantefeltteori og anomalier) og i studier av mangfoldigheter. Relaterte konsepter inkluderer elliptiske komplekser, Atiyah–Patodi–Singer-indeksteoremet og K-teori.