Halmazfogalom

Halmazfogalom a matematika egyik alapfogalma. Halmaznak nevezzük azt a gyűjteményt, amelynek elemei között kizárólag a tagság számít, az elemek ismétlése és a sorrend nem releváns. Halmazokat gyakran kapcsos zárójelekkel jelöljük, például {1, 2, 3} vagy az üres halmaz, ∅.

Az elemeket a halmaz tagjainak nevezzük, és a tagságot x ∈ A vagy x ∉ A jelöli. Két halmaz egyenlő, ha minden elemük közös: A = B akkor és csak akkor, ha azonos elemeket tartalmaz mindkettő. A részhalmaz fogalmával élve A ⊆ B jelentése: minden A-ba tartozó elem B-ben is megtalálható. A halmazok közti kapcsolatokat különböző műveletekkel lehet kifejezni, például unióval vagy metszettel: A ∪ B az elemek halmaza, amelyek vagy A-ban, vagy B-ben, vagy mindkettőben szerepelnek; A ∩ B csak azokat az elemeket tartalmazza, amelyek mindkettőben megtalálhatók. A differencia A \ B azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A-ban vannak, de B-ben nincsenek. A komplementum A^c egy adott Univerzum U feletti halmaz, amely az U-beli elemek közül azokat gyűjti, amelyek nincsenek A-ban. A hatványhalmaz P(A) az A összes lehetséges részhalmazainak halmaza. Továbbá az A × B a két halmaz rendezett párokból álló halmaz.

Bizonyos teljes alapfeltevések a halmazokra épülnek. Az extensionalitás axiómája kimondja: ha két halmaz ugyanazokat az elemeket tartalmazza, akkor azonosak; üres halmaz létezik; valamint különböző műveletek (pár-, unió-, hatványhalmaz-, szelekciós axiómák) biztosítják a halmazok körbejárhatóságát. A halmazfogalom a matematika széles területeire, például aritmetika, algebra, analiza és a logika formális alapjára szolgál.