halmazokra

Halmazokra is a form in Hungarian referring to the concept of halmazok (sets) in mathematics, often appearing in phrases such as halmazokra vonatkozó vagy halmazokra alkalmazott műveletek. A halmaz egy olyan objektumokból álló gyűjtemény, amelyben a tagok egyediak, és a rendezés vagy az ismétlés nem számít. A tagot x halmazban való tagolásával x ∈ A írjuk.

A halmazokkal kapcsolatos alapfogalmak közé tartozik a részhalmaz fogalma: A ⊆ B azt jelenti, hogy minden elem A-ben található elem B-ben is benne van. Az unió A ∪ B tartalmazza az A vagy B elemeit, az metszet A ∩ B azokat, amelyek mindkét halmazban szerepelnek. A különbség A \ B azokat az elemeket tartalmazza, amelyek A-ban vannak, de B-ben nincsenek. A komplementer A^c az adott univerzumban U található elemek közül azokat tartalmazza, melyek nem A-nak tagjai. A hatványhalmaz P(A) az A összes részhalmazát foglalja magában.

A halmazokkal rokon fogalom a Cartesian termék A × B, amelynek elemei rendezett párok. Egy halmaz elemeinek száma a kardinalitás, amit |A| jelöléssel adunk meg. A halmazok lehetnek végesek vagy végtelenek; a végtelen halmazokra gyakran beszélünk számolhatóságról: számolható és nem számolható halmazok, például a természetes számok N vagy a valós számok R.

Rendezvények és relációk is halmazokként értelmezhetők: egy reláció például egy részhalmaz A × B, és a funkció egy olyan speciális reláció, amely minden bemenethez pontosan egy kimenetet rendel. Halmazokra épülő fogalmak nélkülözhetetlenek a matematikai definíciók, bizonyítások és elméleti konstrukciók számára.