bizonyítások

Bizonyítások a matematikában és logikában az állítás igazságának formális megállapításai. Egy bizonyítás egy olyan érveléssorozat, amely axiómákból, definíciókból és korábban igazolt tételekből kiindulva mutatja meg, hogy egy állítás logikailag következik. A bizonyítás célja a tartós, ellenőrizhető igazolás biztosítása, amely nem támaszkodik csupán intuícióra vagy megfigyelésre.

Fajtái közé tartozik a deduktív bizonyítás, amely minden lépést a logikai törvények szerint vezet; a konstruktív bizonyítás, amely kiad egy konkrét példát vagy eljárást az állítás megvalósítására; a nem konstruktív bizonyítás, amely csak a létezésről szól anélkül, hogy konkrét példát adna; az ellentmondás alapján történő bizonyítás (bizonyítás ellentmondásos); indukcióval történő bizonyítás; és a kimerítő (exhaustív) bizonyítás.

Struktúra és követelmények: egy bizonyítás általában egy explicit állítással kezdődik, ezt követik a logikai lépések, amelyeket minden esetben az axiómákra, definíciókra és korábban igazolt tételekre hivatkozva igazolnak. A végén a bizonyított állítást levonják a lépések összességéből. A szigorúság és az egyértelmű fogalmazás kulcsfontosságú; léteznek formalizált bizonyítási rendszerek, ahol a lépések minden állítást formálisan igazolnak, de gyakorlati írásban a világos érvelés is elfogadott.

Jelentőség és határ: a bizonyítások alapvetően biztosítják a matematikai teóriák megbízhatóságát, és történetük hozzájárult a matematikai gondolkodás fejlődéséhez. Történetileg az ókori görögök a deductív bizonyítás első példáiként ismertek, majd a 19. századi formalizmus, Hilbert-program és a számítástechnika megteremtették a formális igazolások gyakorlati kereteit (például Coq vagy Lean).