Gruppoperationer

Gruppoperationer refererar till binära operationer som tar två element ur en mängd G och avbildar dem i samma mängd, vanligtvis betecknat med *. En sådan konstruktion ger struktur till G genom att kombinera element på ett väldefinierat sätt.

För att ett par (G, *) ska bilda en grupp måste operationen uppfylla fyra axiom: stänghet, så att a*b ligger i G för alla a, b i G; associativitet, så att (a*b)*c = a*(b*c) för alla a, b, c i G; ett identitetselement e i G så att e*a = a*e = a för alla a i G; och inverser, så att varje element a i G har en invers b i G med a*b = b*a = e.

Exempel: (Z, +) är en grupp eftersom additionen är associativ, 0 är identitet och varje heltal har en additiv invers. Mängden Z/nZ under addition är en finite cyklisk grupp. S_n, gruppen av permutationer på n element under sammansättning, är ett exempel på icke-abeliansk grupp för n > 2. GL(n, R) består av de inverterbara n×n-matriserna över R under matrismultiplikation. Om ab = ba för alla a, b i G säger man att gruppen är abelsk (kommuntativ).

Gruppoperationer är centrala i abstrakt algebra och används inom studier av symmetrier, geometri, talteori och kryptografi. De fungerar också som byggstenar i större algebraiska strukturer, såsom monoid och kroppar, där grupper ofta utgör kärnan i strukturella resonemang och bevis.