inverterbara

Inverterbara används inom matematik, särskilt linjär algebra, för att beskriva objekt som har en invers. Oftast syftar termen på kvadratiska matriser eller linjära avbildningar. En kvadratisk matris A är inverterbar om det finns en matris B så att AB = BA = I, där I är identitetsmatrisen. Då kallas B för inversen till A och skrivs A^{-1}. Ett vanligt sätt att fastställa inverterbarhet är att det finns ett heltal n så att A är n×n och dess determinant är olika noll.

Flera villkor är ekvivalenta: det(A) ≠ 0, rank(A) = n, och A representerar en bijektiv linjär avbildning. Om A är inverterbar är inversen unik. Inversen kan beräknas via olika metoder, till exempel radreducering till identitet eller formeln för 2×2-matriser: A = [[a,b],[c,d]] är inverterbar om ad − bc ≠ 0 och A^{-1} = (1/(ad−bc)) [[d,−b], [−c, a]].

Egenskaper: produkten av inverterbara matriser är inverterbar, och (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}. Om A är inverterbar och c ≠ 0 är cA inverterbar med (cA)^{-1} = (1/c) A^{-1}. Inversen av transponat är (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T. Värdet på egenvärdena hos en inverterbar matris är alla icke-noll.

Exempel och tolkning: en linjär avbildning som kan beskrivas av en inverterbar matris är bijektiv och har en väldefinierad invers avbildning. Determinanten fungerar som storleksfaktor och tecken på volymförändring; den visar också invertibilitet (det ≠ 0).

Notera att icke-kvadratiska matriser eller matriser med determinant 0 inte är inverterbara. Andra generaliseringar omfattar invertibla linjära transformationer och ändringar av baser.