inverterbarhet

Inverterbarhet är inom matematiken egenskapen hos ett objekt att det finns en multiplikativ invers. En invers B uppfyller AB = BA = I, där I är identitetsobjektet. Sådana objekt kallas ofta enheter (units) i en ring eller ett fält.

Inom linjär algebra gäller särskilt för kvadratiska matriser att A är inverterbar om det finns en matris A^{-1} med A A^{-1} = A^{-1} A = I. Villkoren är olika men likvärdiga: det(A) ≠ 0, eller rank(A) = n, eller att kolonnerna (eller raderna) är linjärt oberoende. Om något av dessa villkor är uppfyllt kan inversen definieras och beräknas.

Inversen är unik. För två inverterbara matriser gäller (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} och det(AB) = det(A) det(B). Beräkningar av A^{-1} kan göras genom Gausselimination, adjugaten tillsammans med determinanten, eller andra radoperationsbaserade metoder.

I vidare bemärkelse gäller invertibilitet i olika algebraiska strukturer: i en ring krävs att det finns en multiplicativ inversitet, dvs enhetens existens. Om en matris inte är inverterbar används ofta en pseudoinversa, exempelvis Moore–Penrose-invers, särskilt vid överbestämda eller underbestämda system. För ett system Ax=b ger en inverterbar matris x = A^{-1} b en unik lösning. Inverterbarhet är därmed central för lösbarhet och beteende hos linjära system och överväganden av strukturens enhetlighet.