Gradienti

Il gradiente di una funzione scalare è un campo vettoriale che associa a ogni punto dello spazio il vettore che indica la direzione di massima crescita della funzione e la velocità di tale crescita. Per una funzione f: R^n → R differenziabile, il gradiente è denotato ∇f e, in coordinate, ∇f(x) = (∂f/∂x1, ..., ∂f/∂xn).

La direzione in cui la derivata direzionale di f è massima coincide con ∇f; per un vettore unitario u, la derivata direzionale è ∇f(x) · u e la magnitudine |∇f(x)| è la massima velocità di variazione di f in quel punto.

Le curve di livello di f sono perpendicolari al gradiente: ad ogni punto (dove ∇f ≠ 0), ∇f è ortogonale al livello set {x | f(x) = c} che passa per quel punto.

Un risultato fondamentale è il teorema del gradiente per le linee: per una curva r(t) tra a e b, f(r(b)) − f(r(a)) = ∫ from a to b ∇f(r(t)) · r′(t) dt.

Applicazioni: il gradiente è centrale in ottimizzazione, dove metodi come la discesa del gradiente aggiornano x_{k+1} = x_k − η∇f(x_k) per minimizzare f. In fisica e ingegneria descrive variazioni di grandezze come temperatura o potenziale. È inoltre impiegato in machine learning, elaborazione delle immagini e altre discipline per analizzare variazioni spaziali. Esistono varianti e strumenti correlati, come il gradiente di funzioni scalari in spazi a dimensioni diverse, o il gradiente di funzioni vettoriali (jacobiano).