Gradientenfeldern

Gradientenfelder sind Vektorfelder, die sich als Gradient eines Skalarfeldes schreiben lassen. Formal gilt F = ∇φ, wobei φ eine Skalarfunktion heißt. Sie erscheinen in vielen Bereichen der Mathematik und Physik als Feld der potenziellen Energie oder des Potentials.

Wichtige Eigenschaften sind, dass Gradientenfelder konservativ sind: Die Arbeit entlang eines Weges von A nach B hängt nur von den Endpunkten ab, nicht vom gewählten Pfad. Das bedeutet, das Linienintegral ∫ F · dr von A nach B ergibt φ(B) − φ(A). Zudem gilt in genügend glatten Bereichen die Wirbelfreiheit ∇×F = 0. Umgekehrt ist auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet jedes Feld mit ∇×F = 0 und ausreichender Glattheit ein Gradientfeld: Es existiert dann eine Potenzialfunktion φ mit F = ∇φ.

Hingegen genügt Glattheit und Wirbelfreiheit nicht immer für eine globale Darstellung als Gradient auf Gebieten mit Löchern oder nicht einfacher Topologie. Ein bekanntes Beispiel ist ein Feld, das zwar curlfrei ist, aber nicht global als Gradient definiert werden kann (das Potenzial funktioniert nur lokal oder multivaluated).

Beispiele: φ(x, y) = (x² + y²)/2 erzeugt F = ∇φ = (x, y). In der Physik gilt E = −∇V für das elektrische Feld oder g = −∇Φ für das Gravitationsfeld.

Anwendungen reichen von der Potentialtheorie über die Theorie der Potentialströmungen in der Fluiddynamik bis hin zur Optimierung, wo Gradienten Richtung für Abstiegslinien verwendet wird. Die Konstruktion von φ erfolgt oft durch Integration von F, wobei die Gleichheit der entsprechenden partiellen Ableitungen eine zentrale Rolle spielt.