Gleichheitsformeln

Gleichheitsformeln sind Formeln, die eine Gleichheit zwischen zwei Ausdrücken ausdrücken. Das zentrale Symbol ist das Gleichheitszeichen "=". In der Mathematik unterscheiden wir Identitäten, Gleichungen und Regeln der Gleichheit, die das Umformen von Ausdrücken ermöglichen.

Identitäten, auch Gleichheits- oder Identitätsformeln, sind Gleichheiten, die unabhängig von den Werten der Variablen wahr sind. Typische Beispiele sind sin^2(x) + cos^2(x) = 1 oder die distributive Gliederung a(b + c) = ab + ac sowie (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1. Solche Formeln gelten für alle zulässigen Werte der Variablen.

Gleichungen mit Lösungen beschreiben Bedingungen, unter denen zwei Ausdrücke gleich sind. Sie enthalten Variablen, deren Werte ermittelt werden können, z. B. x^2 = 4, bei der die Lösungen x = -2 und x = 2 sind. Oft dienen solche Gleichungen dem Lösen von Problemen oder dem Feststellen von Beziehungen zwischen Größen.

Regeln der Gleichheit (Gleichheitsregeln) sind Transformationen, die die Gleichheit bewahren. Beispiele sind das Addieren oder Subtrahieren gleicher Werte beider Seiten, das Multiplizieren beider Seiten mit einer gleichen Zahl oder das Ersetzen durch ein gleiches Teilglied (Substitution). Solche Regeln ermöglichen systematisches Umformen, Berechnen und Beweisen.

In der Logik und formalen Mathematik wird Gleichheit als eine Äquivalenzrelation betrachtet, die Reflexivität, Symmetrie und Transitivität erfüllt. Das Substitutionsprinzip erlaubt dann, gleichwertige Ausdrücke in Formeln zu ersetzen, ohne deren Wahrheit zu verändern. Gleichheitsformeln bilden somit eine zentrale Grundlage für Beweise, Algebra, Analysis und formale Manipulation.