GaussKrümmung

Die Gausskrümmung, auch Gaußsche Krümmung genannt, bezeichnet eine Größe, die die Krümmung einer zweidimensionalen Fläche in drei-dimensionalem Raum erfasst. Für eine parametrisierte Fläche X(u,v) mit der ersten Fundamentalform I und der zweiten Fundamentalform II gilt die Gausskrümmung K als Verhältnis der Determinanten: K = det(II)/det(I) = (e g − f^2)/(E G − F^2). Gleichzeitig lässt sich K als Produkt der beiden Hauptkrümmungen κ1 und κ2 schreiben: K = κ1 κ2.

Gausskrümmung ist eine intrinsische Größe: Sie hängt nur von der intrinsischen Metrik der Fläche ab und bleibt bei Isometrien unverändert. Gaußs Theorema Egregium zeigt, dass K vollständig durch die Metrik bestimmt wird und nicht vom konkreten Einbettungsraum abhängt. Diese Eigenschaft macht K zu einem fundamentalen Werkzeug der differentialgeometrischen und topologischen Untersuchung von Flächen.

Beispiele und Verteilungen: Eine Kugel mit Radius R hat K = 1/R^2 konstant positiv; eine Ebene sowie eine Zylinderoberfläche haben K = 0 (entwickelbare Flächen). Ein Kegel besitzt ebenfalls null Gausskrümmung, abgesehen vom Scheitelpunkt. Ein Torus weist sowohl Bereiche positiver als auch negativer Gausskrümmung auf, je nach Ort auf der Oberfläche.

Zusammenhang mit Topologie: In der Geometrie-Topologie verbindet das Gauss-Bonnet-Theorem die globale Krümmung einer Fläche mit ihrer Eulercharakteristik χ(M). Für eine kompakte glatte Fläche ohne Rand gilt ∬ M K dA = 2π χ(M). Gausskrümmung liefert damit zentrale Einblicke in Form, Struktur und Eigenschaften von Oberflächen.