Ganzzahlordnung

Ganzzahlordnung bezeichnet in der Mathematik eine totale Ordnung auf der Menge der ganzen Zahlen Z, die mit der Ringstruktur verträglich ist. Eine solche Ordnung macht Z zu einem geordneten Ring. Formal bedeutet dies: Es gibt eine totale Ordnung ≤ auf Z, so dass für alle a,b,c in Z gilt: Wenn a ≤ b, dann a+c ≤ b+c, und wenn 0 ≤ a und 0 ≤ b, dann 0 ≤ ab. Entsprechend lässt sich die Ordnung durch die positive Cone P = {n in Z | n ≥ 0} charakterisieren, die P+P ⊆ P und P·P ⊆ P erfüllt, und Z = P ∪ (-P) mit P ∩ (-P) = {0}.

Die bekannteste Ganzzahlordnung ist die gewöhnliche Ordnung ≤, bei der die nichtnegativen ganzen Zahlen P = {n in Z | n ≥ 0} die positiven Elemente definieren. Unter dieser Ordnung ist Z ein diskreter geordneter Ring, in dem es keine Werte zwischen n und n+1 gibt. Unter der Annahme, dass 1 > 0 gilt, ist diese Ordnung die einzige Möglichkeit, Z als geordneten Ring zu betrachten; sie ist damit eng mit der Struktur der ganzen Zahlen verbunden.

Anwendungen finden sich in Zahlentheorie, Analysis und algebraischer Geometrie. Die Ordnung ermöglicht das Konzept der Positivität, monotone Funktionen, Ungleichungen und archimedische Eigenschaften. Sie dient zudem als Grundlage für die Integrierbarkeit von Ordnungsstrukturen auf Rationen- und Reellzahlen, da Z in Q und R eindeutig mit der natürlichen Ordnung aufgenommen wird.