Gammafunksjonen

Gammafunksjonen, eller Γ-funksjonen, er en kompleks funksjon som generaliserer fakultetet til ikke-negative heltall til alle komplekse tall. For tall z med Re(z) > 0 er Γ(z) definert ved integralet Γ(z) = ∫_0^∞ t^{z-1} e^{-t} dt. Funksjonen kan utvides til en meromorf funksjon over hele det komplekse planet, med poler ved ikke-positive heltall.

For naturlige n er Γ(n) = (n-1)!, og Γ oppfyller den rekursive likningen Γ(z+1) = z Γ(z). Denne egenskapen gjør Γ til en naturlig utvidelse av fakultetet til komplekse tall. Γ har enkle poler ved z = 0, -1, -2, … og er ellers analytisk.

En viktig egenskap er refleksjonsformelen Γ(z) Γ(1 - z) = π / sin(π z), som gjelder for alle z som ikke er heltall. Sammen med Γ kan man definere beta-funksjonen B(x,y) gjennom B(x,y) = Γ(x) Γ(y) / Γ(x+y). Γ er positiv på positive reelle tall og er logaritmisk konveks.

Når z blir stor langs den positive reelle akse, følger Γ(z) Stirling-formelen Γ(z) ∼ √(2π) z^{z-1/2} e^{-z}. Dette gir god innsikt i veksten til funksjonen i store intervaller.

Historisk stammer gammafunksjonen fra Leonhard Eulers arbeider, som utviklet integralreprensentasjonen og grunnleggende egenskaper; senere studier av Legendre og andre bidro til den fullstendige teorien og kjente identiteter som refleksjonsformelen.

Gammafunksjonen er en sentral byggestein i analyse og i mange anvendelser, inkludert sannsynlighetslære, statistikk og numeriske beregninger.