Funktionräume

Funktionräume sind Mengen von Funktionen f, typischerweise f: Ω → F mit Ω einem Mengenset und F dem Grundkörper (meist R oder C), die zusätzlich eine Vektorraumstruktur erhalten. Typisch wird die Addition von Funktionen und die Skalarmultiplikation punktweise definiert. Durch die Einführung einer Norm oder Topologie werden sie zu normierten, topologischen oder sogar vollständigen Räumen (Banach- oder Hilberträume).

Zu den bekanntesten Funktionräumen gehören Lp-Räume: L^p(Ω) mit der Norm ||f||_p = (∫Ω |f(x)|^p dx)^{1/p} für 1 ≤ p < ∞ und L^∞ mit ||f||_∞ = ess sup_{x∈Ω} |f(x)|. Der Raum C(K) der stetigen Funktionen auf einer kompakten Menge K wird mit der Supremumsnorm ||f||_∞ = sup_{x∈K} |f(x)| versehen. Weitere typische Räume sind C([a,b]), C^0(Ω) sowie Sobolevräume W^{k,p}(Ω).

Besondere Bedeutung hat L^2(Ω) als Hilbertraum mit dem inneren Produkt ⟨f,g⟩ = ∫Ω f(x) g(x) dx. Allgemein sind L^p- und Sobolevräume häufig Banach- oder Hilberträume. Die Dualität spielt eine zentrale Rolle: Für 1 ≤ p < ∞ gilt L^p(Ω)^* ≅ L^q(Ω) mit 1/p + 1/q = 1; der Dualraum von C(K) wird durch Maßnahmen beschrieben (Riesz–Markov).

Anwendungen von Funktionräumen finden sich in der Analysis, der Lösung von PDEs, der Approximationstheorie und der Fourier- bzw. Funktionalanalysis. Theoreme zur Konvergenz, Dichte von Gliedern und Kompaktheit, wie das Arzelà–Ascoli-Theorem, liefern wesentliche Werkzeuge bei der Arbeit mit Funktionräumen.