Fredholmteoria

Fredholm-teória a funkcionálanalízis egyik alapvető ága, amely a Fredholm-operátorok és ezek indexének tulajdonságait vizsgálja. Nevét Ivar Fredholmról, a svéd matematikusról kapta, aki az integrálegyenletek elméletét fejlesztette ki a 20. század elején.

Definíció: egy bounded lineáris operátor T: X → X között, ahol X egy Banach tér, Fredholm-operátor, ha a kernele véges dimenziós, a képe zárt, és a képet kiegészítő faktor dimenziója is véges. Ekkor az indexet ind(T) = dim Ker T − codim Ran T írjuk.

Atkinson-tétel szerint T akkor Fredholm, ha és csak ha létezik boundolt S: X → X, hogy ST − I és TS − I kompakt operátorok legyenek. Ennek értelmében a Fredholm-operátorokra jellemző a „parametrixz modulált kompakt” elv.

Tulajdonságok: az ind(T) véges; az index a kompakt pertubációk alatt invariáns (azaz kompakt perturbációk megőrzik az indexet); ha T invertibilis, ind(T) = 0. A spektrum szempontjából a zero általában specializált része a spektrumnak: ha T nem invertibilis, akkor zero általában egy isolated, véges multiplicitású eigenérték, és a többi spektrum izolált, véges multiplicitású eigenértékek körül clusterizálhat a 0 körül.

Fredholm-alternatíva: legyen K kompakt operator X→X. Az I − K egyenlet megoldhatósága attól függ, hogy ker(I − K) létezik-e; ha ker(I − K) = {0}, akkor minden f-nek egyedi megoldása van; ellenkező esetben csak olyan f-ek adhatnak megoldást, amelyek megfelelnek a ker(I − K) simultáns orthogonális feltételeinek az adjungált operátorhoz.

Alkalmazások: elsősorban integrálegyenletek második típusának elmélete, ahol a integraloperatorok (K) kompaktsága Fredholm-operátorrá teszi az I − K-t. Eredmények alapján lehet chec k a megoldhatóságot, stanza és a megoldások számszerűsítését is megérteni.

---