Fredholmoperátorokra

Fredholmoperátorok, ismertebb nevén Fredholm-operátorok, egy fontos osztályát alkotják a lineáris operátoroknak a Banach-terek között. Egy lineáris operátor, $T: X \to Y$, ahol $X$ és $Y$ Banach-terek, Fredholm-operátornak nevezzük, ha rendelkezik két kulcsfontosságú tulajdonsággal. Először is, a képterének (image) dimenziója véges kell, hogy legyen, azaz $\dim(Y/\operatorname{Im}(T))$ véges. Másodszor, a magtér (kernel) dimenziójának végesnek kell lennie, azaz $\dim(\operatorname{Ker}(T))$ véges.

Ezen két feltétel együtt határozza meg a Fredholm-operátorokat. Az egyik feltétel teljesülése nem garantálja a másik teljesülését. Fontos megjegyezni, hogy a Fredholm-operátorok sajátos tulajdonságokkal rendelkeznek a spektrumuk tekintetében. A Fredholm-operátorok indexe, amelyet a magtér és a faktor-kép dimenziójának különbségeként definiálunk ($\operatorname{ind}(T) = \dim(\operatorname{Ker}(T)) - \dim(Y/\operatorname{Im}(T))$), invariáns a Fredholm-operátorok perturbációi alatt, amennyiben ezek a perturbációk szintén Fredholm-operátorok.

A Fredholm-operátorok jelentős szerepet játszanak a parciális differenciálegyenletek elméletében és a geometriai analízisben, különösen a véges dimenziós invariánsok, mint például a Lefschetz-féle fixponttétel általánosításainak vizsgálatában. A Hilbert-terek esetében a Fredholm-operátorok fontos szerepet játszanak az index-elméletben, amely a topológiát és az analízist köti össze.