fixponttétel

A fixponttétel olyan matematikai állítás, amely megmondja, hogy adott feltételek mellett egy függvénynek létezik fixpontja, azaz olyan x érték, amelyre f(x) = x. A fogalom alapvető az iteratív módszerekben és a differenciál- és topológiai összefüggésekben.

A legfontosabb tételek közül kiemelkedik a Banach-féle kontrakciós tétel. Ha egy teljes metrikus térben f: X → X kontrakciós leképezés, azaz létezik k a [0,1) intervallumban, hogy d(f(x), f(y)) ≤ k d(x,y) minden x, y ∈ X, akkor létezik egy egyedi fixpont x*, és minden kezdeti pontból keletkező xn+1 = f(xn) sor konvergál x*-hoz. Ezt gyakran konstrukciós módszerként használják.

Brouwer-fixpont-tétel szerint minden folytató függvény f: K → K részhalmazon, ahol K kompakt konvex rácc-ún belül van, fixponttal rendelkezik. Ez a tétel a többváltozós problémák lényeges eszköze.

Schauder-fixpoint-tétel általánosítja a Brouwer-tételt véges-dimenziós térben: ha egy Banach térben levő, nemüres, kompakt és konvex zárt részhalmazán K egy folytonos f: K → K leképezés, akkor f-nek van fixpontja. A Kakutani-fixpoint-tétel pedig többértékű (set-valued) leképezésekre ad általános létesítési feltételeket, és fontos szerepe van a Nash-egyensúly bizonyításában.

Gyakorlati alkalmazások közé tartozik a differenciálegyenletek és integrálegyenletek megoldásainak bizonyítása, dinamikus rendszerek elemzése, közgazdaságtan és játékelmélet, ahol fixpontok lehetőséget adnak állapotok vagy egyensúlyok létezésére. Például x = cos x típusú egyenleteknek van megoldása egy megfelelő zárt tartományban a kontralációs tétel alapján.