leképezésekre

A leképezések olyan matematikai és informatikai konstrukciók, amelyek minden bemeneti elemhez pontosan egy kimeneti elemet rendelnek. Általában egy leképezést f: A → B jelölünk, ahol A a domén (értelmezési tartomány) és B a codomén (képfoglaló halmaz). A kép f(A) az összes olyan y ∈ B, amelyhez létezik x ∈ A such that f(x) = y; az előkép pedig azokat a bemeneti elemeket tartalmazza, amelyek egy adott y értéket érnek el.

A leképezések három alapvető típusa a következő: injektív leképezés (ha különböző bemeneti elemekhez különböző kimenetek tartoznak), surjektív leképezés (ha a codomén minden eleme elérhető a domén képe útján), és bijektív leképezés (ha egyszerre injektív és surjektív). Bijektív leképezés esetén létezik fordított leképezés f^{-1}: B → A, amely visszaadja a kiinduló elemeket.

Fontos fogalmak közé tartozik a kimeneti halmaz és a kép fogalma, valamint az értelmezési tartomány és a fordított leképezés fogalma. A leképezések összetétele is értelmezett: ha f: A → B és g: B → C, akkor a g ∘ f: A → C is leképezés, amely elsőként f-et alkalmazza, majd g-t.

Széleskörű alkalmazások találhatók a matematika különböző ágai között, továbbá a számítástechnikában funkciók, adattranszformációk és adathalmazok közötti kapcsolatok modellezésében. Példák: f: Z → Z, f(n) = n + 1 bijektív; f: R → R, f(x) = x^2 nem injektív és nem surjektív sem, így nem bijektív; g: R → {0,1}, g(x) = 1 ha x > 0, g(x) = 0 egyértelműen surjektív, de nem injektív.