Fourieranalyysi

Fourieranalyysi on matematiikan ala, joka tutkii funktioiden ilmaisemista taajuuskomponenttien avulla. Keskeisiä muotoja ovat Fourier-sarja, Fourier-transformaatiot sekä niiden diskretit vastineet. Fourier-sarja kuvaa jaksollisen funktion laajentamisen sinimuotoisten ja kosinimuotoisten funktioiden tai kompleksien eksponentiaalien sarjaksi. Fourier-transformaatiot yleistävät tämän ei-jaksollisille funktioille, jolloin funktiosta saadaan taajuusalueen kuva F(ω) sekä sen käänteinen transformaatio ajassa.

Historian kannalta Fourierin nimeen liittyvä ajatus syntyi 1800-luvun tutkimuksissa lämpöopin yhteydessä. Siihen kuuluu väite, että monet jaksolliset ilmiöt voidaan esittää taajuuksien summana. Fourier-sarjojen ja -transformaation kehitys sekä konvergenssi- ja määritelmäkysymykset ovat myöhemmin syventyneet.

Fourier-sarja kehitellään jaksolliselle funktiolle f(t) ja periodille T. Sarja koostuu sinimuotoisten ja kosinimuotoisten komponenttien sarjasta tai vaihtoehtoisesti kompleksien eksponentiaalien sarjasta, ja sen kertoimet määräytyvät tietyillä integraali- tai summakaavoilla. Fourier-transformation avulla ei-jaksolliselle funktiolle f(t) määritellään taajuusjakauma F(ω) = ∫ f(t) e^{-i ω t} dt, ja palautus tapahtuu f(t) = (1/2π) ∫ F(ω) e^{i ω t} dω. Ominaisuuksiin kuuluu lineaarisuus, konvoluutioteoreema sekä ajassa ja taajuudessa tapahtuvan muuntamisen välinen yhteys.

Diskreetti Fourier-analyysi operoi näiden periaatteiden diskreetillä aikavälillä. Diskreetti Fourier-sarja (DFT) ja sen nopeasti laskettava versio, FFT, ovat keskeisiä työkaluja digitaalisen signaalin käsittelyssä, kuvankäsittelyssä ja monissa muissa sovelluksissa. Näihin malleihin liittyy usein näytteenottoon, aliaseeraukseen ja ikkunointiin liittyviä seikkoja.

Sovelluksia ovat signaalinkäsittely, ääni- ja kuvan analysointi, fysiikan ja insinööritieteiden tehtävät sekä erilaisten differentiaaliyhtälöiden ratkaisujen muodostaminen taajuusnäkökulmasta. Gibbs-ilmiö ja spektrialueen tarkkuuden haasteet ovat tyypillisiä rajoituksia.