FokkerPlanckligninger

Fokker–Planck-ligningerne beskriver tidsudviklingen af sandsynlighedsfordelingen for en stokastisk proces, særligt diffusionprocesser der kan beskrives ved en Langevin-ligning. De giver et deterministisk, partiell differentialligningsbaseret billede af hvordan sandsynligheden for systemets tilstand ændrer sig over tid.

Den generelle form i n dimensioner beskrives af tætheden p(x,t) for tilstanden x ved tid t. Hvis X_t følger en Itô-stokastisk differentialligning dX_t = a(x,t) dt + B(x,t) dW_t, hvor W_t er en Wiener-proces og D(x,t) = B(x,t) B(x,t)^T, er den kolmogorov fremad-ligning (Fokker–Planck-ligningen) givet ved

∂t p(x,t) = - ∑i ∂/∂x_i [ a_i(x,t) p(x,t) ] + (1/2) ∑i,j ∂^2/∂x_i ∂x_j [ D_{ij}(x,t) p(x,t) ].

Den første term beskriver driftens adfærd, mens den anden term beskriver diffusionen.

Der findes også den bagudrettede (backward) Fokker–Planck-ligning, som beskriver evolutionen af forventede værdier af funktioner af tilstanden og er nyttig til beregning af forventninger og first-passage-tider. Ligningens derivation følger fra Itô-kalkule anvendt på Langevin-ligningen.

Anvendelserne spænder fra fysik og kemi til biologi og finans. I fysik beskriver den Brownsk bevægelse og diffusion, i biologi kan den modellere populationsfordelinger under stokastiske påvirkninger, og i finansiering bruges den i visse prissætnings- og risikostyringsmodeller.

Sammenlignet med Langevin-ligningen giver Fokker–Planck-ligningen en description af sandsynlighedsfordelingen i stedet for de enkelte stiens dynamik og bruges til at studere stationære tilstande, transitperioder og statistiske egenskaber hos stokastiske systemer.