FokkerPlanckligning

Fokker–Planck-ligningen er en partiell differensialligning som beskriver tidsutviklingen av sannsynlighetsfordelingen til en stokastisk prosess, ofte knyttet til Brownsk bevegelse eller Langevin-ligningen. Den ble introdusert av Adriaan Fokker og Max Planck i 1918 som en matematisk modell for partikkeldiffusjon i væsker og gasser, og den har siden fått bred anvendelse i fysikk, kjemi, biologi og finans.

Generelt beskriver ligningen hvordan sannsynligheten for å være i en tilstand x ved tid t endrer seg under påvirkning av en drift (som systemets energikuft eller eksterne krefter) og tilfeldige krefter eller støy. I n dimensjoner skrives den som

∂p(x,t)/∂t = - ∑_i ∂/∂x_i [ A_i(x,t) p(x,t) ] + (1/2) ∑_{i,j} ∂^2 / ∂x_i ∂x_j [ D_{ij}(x,t) p(x,t) ],

der p er sannsynlighetsdensiteten, A_i er driften, og D_{ij} er diffusjonsmatrisen.

For en en-dimensjonell prosess X_t som følger Langevin-ligningen dX_t = a(X_t,t) dt + b(X_t,t) dW_t, med D = (1/2) b^2, er FP-ligningen

∂p/∂t = - ∂[a(x,t) p]/∂x + (1/2) ∂^2 [b(x,t)^2 p]/∂x^2.

Siden D kan være plass- og tidsavhengig, ivaretas denne formen av B- og A-funksjonene via den generelle uttrykket.

Ligningen er den fremadrettede (forward) Kolmogorov-likningen og er nært koblet til Kramers–Moyal-utvidelsen. Den gir grunnlag for å beregne forventede verdier, første-passtids- og stationære fordelingene i systemer under støy.