Filtrationsmodulen

Filtrationsmodul bezeichnet in der Algebra ein Modul M über einem Ring R, dem eine Filtration F zugeordnet ist. Eine Filtration besteht aus Untermodulen F_i ⊆ M, indexiert durch eine geordnete Menge I, so dass F_i ⊆ F_j gilt, wenn i ≤ j. Üblich ist I = N oder Z und eine aufsteigende Filtration F_0 ⊆ F_1 ⊆ … ⊆ M oder eine absteigende Filtration F^0 ⊇ F^1 ⊇ …. Eine Filtration ist exhaustiv, wenn ⋃_i F_i = M (bei absteigender Filtration: ⋂_i F^i = 0). Sie kann auch endlich sein, dann hat sie eine endliche Länge.

Morphismen: Ein Homomorphismus f:M→N von R-Modulen ist ein Morphismus gefilterter Module, wenn f(F_i M) ⊆ F_i N für alle i.

Associated graded: Zur Filtration gehört oft das assoziierte graduierte Modul Gr(M) = ⊕_i (F_i M / F_{i-1} M) bei einer aufsteigenden Filtration. Dieses Konstruktion ermöglicht eine Zerlegung der Struktur des Moduls in Grade und wird häufig in der Homologischen Algebra verwendet.

Beispiele: M = R[x] mit der Filtration nach Grad F_d M = Polys ≤ d; dann ist Gr(M) ≅ ⊕_{d≥0} R x^d. Ausserdem erhält man bei M = ⊕ M_d eine Filtration F_p M = ⊕_{d≤p} M_d, die eine natürliche Stufenstruktur ergibt.

Anwendungen: Filtrationen spielen eine zentrale Rolle in der Homologischen Algebra, Spektralsequenzen und Algebraischer Geometrie, etwa bei Hodge- und p-adischen Filtrationen sowie in der Theorie der D-Module.