FermiDiracVerteilungen

Fermi-Dirac-Verteilung bezeichnet die Wahrscheinlichkeitsverteilung, mit der einzelne Quantenzustände des Energielevels E in einem System von Fermionen bei thermischer Gleichgewicht besetzt sind. Sie ist zentral für Elektronen in Metallen, Neutronensterne und andere Systeme aus Teilchen mit halbzahligem Spin, die dem Pauli-Ausschlussprinzip gehorchen.

Die Verteilungsfunktion lautet f(E) = 1 / [exp((E - μ)/(k_B T)) + 1], wobei μ die chemische Potenz ist, k_B die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur. μ wird durch die Teilchenzahl N festgelegt via N = ∫ g(E) f(E) dE, wobei g(E) die Zustandsdichte pro Energieintervall ist.

Im Grenzfall T → 0 wird f(E) zu einer Stufenfunktion: f(E) = 1 für E < μ, f(E) = 0 für E > μ. Der Grenzwert μ wird als Fermi-Energie E_F bezeichnet. Bei T > 0 wird die Stufe geglättet; die Verteilung nähert sich bei kleinen Temperaturen der Sommerfeld-Expansion und beschreibt die thermische Anregung von Zuständen nahe μ.

Für große Energien oder hohe Temperaturen nähert sich f(E) dem Boltzmannlimit f(E) ≈ exp(-(E - μ)/(k_B T)) an, wenn (E - μ) deutlich größer als k_B T ist. In Festkörper- und Halbleiterphysik wird die Verteilung verwendet, um Teilchenzahlen, spezifische Wärme, Leckströme und Transportkoeffizienten zu berechnen, insbesondere für Elektronengase in Metallen.

Zusätzliche Hinweise: Die Verteilung berücksichtigt die Spindegeneracy von Fermionen, üblicherweise mit dem Faktor 2 für Elektronen. Die chemische Potenz μ hängt von N und T ab und wird durch die Bedingung N = ∫ g(E) f(E) dE festgelegt.