Faktorraums

Der Faktorraum (Plural Faktorräume) bezeichnet in der Mathematik eine Quotientenstruktur, die aus einer Grundmenge X mit einer Äquivalenzrelation ~ entsteht. In der linearen Algebra ist der Begriff besonders geläufig: Gegeben ein Vektorraum V über einem Körper F und eine Untervektorraum U ⊆ V, bildet man den Faktorraum V/U aus den Äquivalenzklassen v+U, wobei v ∈ V und x ~ y gilt, wenn x−y ∈ U. Die Abbildung π: V → V/U, v ↦ v+U, heißt kanonische Projektion; sie ist surjektiv.

Die Operationen auf V/U werden so definiert, dass sie wohldefiniert sind: (v+U) + (w+U) = (v+w) + U und α·(v+U) = αv + U für alle v, w ∈ V und α ∈ F. Diese Operationen sind wohldefiniert, weil U ein Untervektorraum ist. Der Faktorraum V/U ist damit wieder ein Vektorraum über F, und im endlichen Fall gilt dim(V/U) = dim(V) − dim(U).

Beispiel: In R^2 mit U = span{(1,0)} ergibt R^2/U eine eindimensionale Raum, der durch die zweite Koordinate identifiziert ist und isomorph zu R ist.

Eine zentrale Eigenschaft ist das universelle Faktorisierungsprinzip: Jede lineare Abbildung f: V → W, die U auf 0 abbildet, faktorisiert eindeutig durch eine lineare Abbildung g: V/U → W mit f = g ∘ π.

Weitere Kontexte: Über das Konzept des Quotienten gilt es auch in Gruppen, Ringen und topologischen Räumen, wo entsprechende Quotientenstrukturen mit passenden Operationen bzw. Topologien versehen werden.