Evolutionslikning

Evolutionslikning, ofte oversatt som evolution equation, er en type differensialligning som beskriver hvordan en tilstand utvikler seg over tid i en matematisk modell. Slike ligninger brukes i fysikk, ingeniørfag, biologi og andre disipliner for å modellere tidsavhengige prosesser som varmefordeling, kjemiske reaksjoner, væskestrømninger og populasjonsendringer.

I abstrakt form blir en førstordens evolutionslikning ofte skrevet som du/dt = Au + f(t) i et Banach- eller Hilbert-rom X, der A er en lineær operatør og f(t) en tidsavhengig påvirkning. A bør være en generator av en C0-semigruppe for at problemet skal være veldefinert. En løsning, eller mild løsning, kan uttrykkes ved u(t) = T(t)u0 + ∫0^t T(t-s)f(s) ds, der T(t) er semigruppen som genereres av A og u0 er initialtilstanden. Ikke-lineære evolutionslikninger har formen du/dt = F(u,t) og krever ofte andre metoder for å etablere eksistens og unikhet.

Typiske eksempler inkluderer varmeledningsligningen ∂tu = Δu, som er et PDE-eksempel, og Boltzmann- eller Navier–Stokes-ligninger i væskedynamikk. I finite- og uendelige dimensjoner klassifiseres evolutionslikninger som ordinære (ODE) og partielle differensialligninger (PDE), og som lineære eller ikke-lineære.

Vel_posedness, det vil si eksistens, unikhet og kontinuerlig avhengighet av inndata, er sentralt i feltet og styres ofte av semigruppe- og monotone operatorteori, samt av passende boundary- og initialbetingelser. Numerisk løsning brukes gjennom tids- og romdiskretiseringer som Euler-, Crank–Nicolson- eller finite element-metoder.