Etäisyysmatriiseihin

Etäisyysmatriisit ovat matriiseja, joissa rivin i ja sarakkeen j alkioiden arvo kuvaa kohteiden i ja j välistä etäisyyttä. Ne muodostuvat usein siten, että annettu etäisyysfunktio d määrittää d(xi, xj) kaikille kohteille xi ja xj. Tuloksena on n × n -kokoinen matriisi D, jossa D[i,i] = 0 ja D[i,j] = D[j,i] (etäisyys on symmetrinen). Jos d on mitta, D täyttää lisäksi neliöjuonteiset ryhmäominaisuudet eli se voi edustaa metriikkaa.

Etäisyysmatriiseihin liittyy sekä käsite-eroja että käytännön sovelluksia. D- matriisi voidaan muodostaa suoraan ominaisuusvektoreista (esimerkiksi etäisyydet vektoreiden välillä) tai erilaisten etäisyysmittareiden kautta, kuten Euclidinen, Manhattan (L1), Chebyshev (L∞) sekä Minkowskinen etäisyys. Categorical-tiedoille käytetään usein Jaccard- tai Hamming-etäisyyksiä. Joissakin tapauksissa kohdejoukko voi siirtyä dissimilarity-matriisiksi, joka voi tai ei täyttää metriikan kolmion epäsääntöä.

Käyttökohteet ovat laajasti erilaisia. Etäisyysmatriiseja käytetään klusteroinnissa ja hierarkisessa klusteroinnissa, multidimensionaalisessa skaalaamisessa (MDS) sekä muissa avorakenteisissa ulottuvuuksien pienentämis- ja rakenteenpaljastamistehtävissä. Ne mahdollistavat myös kahden matriisin vertailun, esimerkiksi Mantel-testillä, tai kohteiden sijoittamisen yhteenkäyliin kuvauksiin Procrustes-tason avulla.

Tärkeitä käytännön huomioita ovat mittareiden valinta ja datan esikäsittely. Eri etäisyysmittarit tuottavat erilaista rakennetta, ja joissakin tapauksissa mittarit eivät täytä metriikan kaikkia ehtoja. Lisäksi suurten matriisien tallennus- ja laskennalliset kustannukset voivat olla merkittäviä, jolloin käytetään puolia, simetriaa tai online-laskentaa.