Ergodiske

Ergodiske, eller ergodiske egenskaber, refererer til begreper i ergodeteori, en gren af matematikken der undersøger lange tidsadfærd i dynamiske systemer. Hovedideen er at tidsaver, som gennemsnit over en enkelt trajectories, kan repræsentere gennemsnittet over hele rummets statistiske fordeling.

En formel ramme bruges ofte: lad (X, F, μ) være et sandsynlighedsrum og T: X → X en målebevarende transformation (dvs. μ(T^{-1}(A)) = μ(A) for alle A i F). T siges at være ergodisk hvis alle T-invariante mængder A (dannet ved T^{-1}(A) = A) har μ(A) = 0 eller μ(A) = 1. Det betyder at systemet ikke kan opdeles i to ikke-trivielle delrum, der hver især bevares af dynamikken.

Tidsgennemsnit giver en praktisk karakteristisk: for alle integrerbare funktioner f ∈ L^1(μ) gælder næsten alle x i X, at lim_{n→∞} (1/n) ∑_{k=0}^{n-1} f(T^k x) = ∫ f dμ. Denne sætning er Birkhoffs ergodiske sætning og giver sammenhæng mellem et enkelt trajectories adfærd og hele rummets statistiske middelværdi.

Eksempler inkluderer irrationelle rotationer af kloden med Lebesgue-målet, Bernoulli-skiftninger og visse ulineære dynamiske systemer. Inden for finite Markov-kæder er irreducerbare og aperiodiske kæder ofte ergodiske og konvergerer til en unik stationary fordeling.

Ergodicitet er stærkere end blot at være stationær eller mixet; mixede systemer er ergodiske, men ikke alle ergodiske systemer er mixing. Anvendelser findes i statistisk mekanik, talteori og signalbehandling, hvor lange tidsserier antages at repræsentere samlede statistiske egenskaber.