Elastizitätstensor

Der Elastizitätstensor, C_{ijkl}, ist ein vierter Rang Tensor, der in der linearen Elastizitätslehre die Beziehung zwischen dem Spannungstensor σ_{ij} und dem Verzerrungstensor ε_{kl} festlegt: σ_{ij} = C_{ijkl} ε_{kl}. Die Verzerrung ergibt sich aus dem Displacementsfeld u_i als ε_{ij} = 1/2(∂u_i/∂x_j + ∂u_j/∂x_i).

Aufgrund der Symmetrie beider Tensoren folgen die Minor-Symmetrie C_{ijkl} = C_{jikl} und C_{ijkl} = C_{ijlk, sowie die Major-Symmetrie C_{ijkl} = C_{klij} (Energiemenge). Die in der Materialenergie auftretende Größe W = 1/2 C_{ijkl} ε_{ij} ε_{kl} liefert eine weitere Begründung für diese Symmetrien.

Für isotrope Materialien lässt sich der Elastizitätstensor durch zwei Lamé-Parameter λ und μ ausdrücken: C_{ijkl} = λ δ_{ij} δ_{kl} + μ (δ_{ik} δ_{jl} + δ_{il} δ_{jk}). Alternativ verwendet man Youngsches Modul E und Linienkoeffizienten ν.

Allgemein ist C_{ijkl} ein vierter Rang und besitzt je nach Materialsymmetrie eine reduzierte Anzahl unabhängiger Komponenten. Isotrop 2, kubisch 3, orthotropisch 9, triclinisch 21. In der Praxis wird oft die Voigtnotation verwendet, in der σ und ε als Vektoren und C als 6×6-Matrix zusammengefasst werden: [σ] = [C][ε].

Anwendungen umfassen die Modellierung linear-elastischer Materialien in der Festkörpermechanik, Finite-Elemente-Analysen sowie Wellen- und Materialcharakterisierung.