Eckpunktabstands

Eckpunktabstände bezeichnet die Abstände zwischen Eckpunkten eines geometrischen Objekts, üblicherweise eines Vielecks oder Polyeders. In der Ebene oder im Raum werden die Abstände als euklidische Entfernungen gemessen. Für ein Vieleck mit Vertexliste V = {v1, ..., vn} bilden die Eckpunktabstände eine Menge D = {d(vi, vj) | i < j} oder als Multiset mit der entsprechenden Häufigkeit.

Berechnung: Wenn Koordinaten bekannt sind, d(vi, vj) = ||vi − vj||. In 2D ergibt sich die Distanzformel, in 3D die räumliche Distanzformel. Die vollständige Sammlung enthält n(n − 1)/2 Abstände.

Eigenschaften und Herausforderungen: Aus Eckpunktabständen allein lassen sich oft mehrere verschiedene Formen rekonstruieren; das inverse Problem wird in der Geometrie als Turnpike-Problem oder Distanzgeometrie bezeichnet. Zusätzliche Informationen über Kantenlängen oder Winkel helfen bei der eindeutigen Bestimmung.

Beispiel: Ein Quadrat mit den Ecken (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1) liefert die Abstände 1 (viermal) und √2 (zweimal). Die Gesamtsumme der Abstände bildet das Distanzmultiset.

Anwendungen: Die Eckpunktabstände werden in der Mustererkennung, der 3D-Rekonstruktion aus Distanzdaten, der Mesh-Qualitätssicherung und in der Analytik symmetrischer Formen verwendet. Sie dienen auch in der Distanzgeometrie zur Charakterisierung von Formen und zum Vergleich unterschiedlicher Geometrien.