Dualdarstellung

Dualdarstellung ist ein Begriff der Representationstheorie und bezeichnet die Darstellung des gleichen Trägers (meist einer Gruppe G oder eines Lie-Gruppen) auf dem Dualraum der ursprünglichen DarstelleV. Gegeben eine lineare Darstellung ρ: G → GL(V) über einem Feld, erhält man die Dualdarstellung ρ*: G → GL(V*) durch (ρ*(g) φ)(v) = φ(ρ(g^{-1}) v) für alle φ ∈ V*, v ∈ V. Anschaulich wirkt ρ* so, dass Funktionen auf V (Linearformen) gemäß der Umkehr der Basiswechsel transformiert werden.

Charakteristische Eigenschaften: Die Dualdarstellung hat dieselbe Dimenson wie die ursprüngliche Darstellung. Unter bestimmten Bedingungen (z. B. endliche Dimension über einem Algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0) ist die Dualdarstellung irreduzibel, falls die ursprüngliche Darstellungen irreduzibel ist; für unitäre Gruppen ist die Dualdarstellung zumeist äquivalent zum konjugiert-Adjungierten. Eine Darstellung ist selbstdual, wenn sie isomorph zu ihrer Dualdarstellung ist.

Beispiele: Für GL(n) wirkt die Dualdarstellung auf dem Dualraum (C^n)*; in einer Basis ergibt ρ*(g) = (g^{-1})^T. Bei abelschen Gruppen G ≅ Z^r entsprechen Darstellungen den Charaktern, und die Dualdarstellung entspricht der komplex konjugierten Figur der Figur. Im Zusammenhang mit Lie-Gruppen spielt die Dualdarstellung eine zentrale Rolle in der Co-Adjoint-Darstellung Ad*: G → GL(g*), deren Struktur wichtiger Bestandteil der Orbit-Methode in der Repräsentationstheorie ist.

Anwendungsbereiche: Dualdarstellungen erscheinen in der Theorie der Charaktere, der Harmonik auf Gruppen, bei der Konstruktion von Invarianten und in der Physik, wo Felder oft in dualen Darstellungen transformieren.