Drehimpulsvektor

Der DrehimpulsVektor, oft als Drehimpuls bezeichnet, ist eine zentrale Größe der Mechanik, die den Rotationszustand eines Systems beschreibt. In der klassischen Mechanik ergibt sich L aus dem Kreuzprodukt von Ort r und Impuls p: L = r × p. Bei mehreren Teilchen ist L die Summe der einzelnen Beiträge. In Zentralfeldern bleibt der Drehimpuls erhalten, da das Drehmoment τ = dL/dt verschwindet.

In der Quantenmechanik wird der DrehimpulsVektor durch Operatoren beschrieben: L → -iħ (r × ∇). Die Komponenten L_x, L_y, L_z erfüllen die Kommutationsrelationen [L_i, L_j] = iħ ε_{ijk} L_k. Die Operatoren L^2 und L_z besitzen diskrete Eigenwerte: L^2 |l m> = ħ^2 l(l+1) |l m>, L_z |l m> = ħ m |l m>, mit l = 0,1,2,... und m = -l,...,l. Daraus folgt die Größe des Drehimpulses als √(l(l+1)) ħ und die Diskretheit der Projektion L_z = mħ. Im Vektor-Modell beschreibt man den Spitzenvektor L als feste Größe, dessen Spitze sich bei bekanntem L^2 und L_z auf einer Kegelbahn bewegt.

Spin und Gesamtdrehimpuls: Der intrinsische Spin S ist eine weitere Quelle des Drehimpulses. Der Gesamtdrehimpuls ist J = L + S, dessen Komponenten ähnliche Gesetze erfüllen. In der Relativistik entstehen L und J als Generatoren der Rotationssymmetrie SO(3), was die enge Verbindung zu Erhaltungssätzen und Symmetrien verdeutlicht.