Distribusjonsfunksjonen

Distribusjonsfunksjonen, eller kumulativ sannsynlighetsfunksjon (CDF), er en sentral beskrivelse av en stokastisk variabels sannsynlighetsfordeling. For en tilfeldig variabel X defineres funksjonen som

Fₓ(x) = P(X ≤ x)

for hvert reelt tall x. Funksjonen er monoton voksende, har verdier mellom 0 og 1, og tilfredsstiller lim_{x→-∞}Fₓ(x)=0 og lim_{x→∞}Fₓ(x)=1. I tilfeller der X er kontinuerlig, er Fₓ kontinuerlig og deriverbar nesten overalt; dens derivert er tetthetsfunksjonen (PDF). For diskrete variabler er CDF-en et trinnfunksjon med skudd ved variablens støtten, og den får verdien Fₓ(x)=∑_{t≤x}P(X = t). CDF‑en er sentral fordi den gir sannsynligheten for at X faller innen et intervall, for eksempel

P(a < X ≤ b) = Fₓ(b) − Fₓ(a).

En viktig egenskap er at hver gitt CDF kan tilordnes en unik fordelingsfunksjon; omvendt kan enhver fordelingsfunksjon uttrykkes som en CDF. Inversen av Fₓ, hvis den eksisterer, kalles kvantilfunksjonen (quantile function) eller distribusjonsfunksjonen sin inv. Den gir den kritiske verdien x for en spesifikk sannsynlighet p, og brukes for eksempel i simulering av tilfeldige variabler via inverse transform sampling.

Eksempler på kjente distribusjoner og deres CDF-er inkluderer uniform(0,1) med Fₓ(x)=x for 0≤x≤1, normalfordelingen med CDF Φ(x) som ikke finnes i lukket form, og eksponentialfordelingen med Fₓ(x)=1‑e^{−λx} for x≥0. Distribusjonsfunksjonen er derfor et grunnleggende verktøy i både teoretisk sannsynlighet og anvendt statistikk.