eksponentialfordelingen

Eksponentialfordelingen er en kontinuert sandsynlighedsfordeling, der beskriver tiden mellem hændelser i en Poisson-proces med konstant gennemsnitlig hændelseshastighed. Den har tætheden f(x) = λ e^{-λ x} for x ≥ 0 og 0 ellers. Den kumulative fordelingsfunktion er F(x) = 1 - e^{-λ x} for x ≥ 0. Parameteren λ > 0 kaldes rate eller hændelseshastighed. En alternativ parametrisering er skalaen θ = 1/λ, hvor f(x) = (1/θ) e^{-x/θ}.

Statistiske egenskaber: Forventning E[X] = 1/λ og varians Var(X) = 1/λ^2. Medianen er (ln 2)/λ. Momentgenereringsfunktionen er M_X(t) = λ/(λ - t) for t < λ. Hazardraten h(x) = f(x)/(1 - F(x)) = λ er konstant, hvilket er karakteristisk for hukommelsesløshedens egenskab: P(X > s + t | X > s) = P(X > t) for alle s, t ≥ 0.

Sammensætning og relationer: Eksponentialfordelingen er en særlig gamma-fordeling med shape parameter 1 (k = 1) og er også en Erlang-fordeling med k = 1. Den beskriver ofte ventetider i køsystemer og livstidsmodelering, og den knytter sig til Poisson-processer ved at beskrive tiden mellem på hinanden følgende hændelser.

Anvendelser: anvendes bredt inden for pålidelighedsteknik, ventetidsteori, biostatistik og risikovurdering til at modellere ikke-negative tidsintervaller og hændelsesfrekvenser med konstant rate.