Distansfunktion

Distansfunktion, eller distance function, är inom matematiken en funktion d: X × X → [0, ∞) som mäter hur långt två element i en mängd X är från varandra. När d uppfyller vissa axiom kallas d ofta för en metric och X för ett metricrum.

De fyra grundläggande axiom som en distansfunktion i allmänhet uppfyller är: 1) Icke-negativitet: d(x,y) ≥ 0 för alla x, y; 2) identitet av indiscernibles: d(x,y) = 0 endast om x = y; 3) symmetri: d(x,y) = d(y,x); 4) triangelolikhet: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) för alla x, y, z. Dessa egenskaper gör att avståndet mellan två punkter ligger till grund för en topologi och geometrisk intuitivitet i X.

Vidare kan distansfunktioner generaliseras genom att frånfalla eller modifiera något av axiomens krav. En pseudo-metrik tillåter att d(x,y) = 0 även när x ≠ y; en semimetric eller quasi-metrik kan tillåta att symmetri eller triangelolikheten inte uppfylls i full utsträckning. Sådana generaliseringar används i olika sammanhang där vissa egenskaper är onödiga eller oönskade.

Vanliga exempel är Euclidisk distans d(x,y) = ||x−y||2 i ℝn, Manhattan-distans d(x,y) = ∑i |xi − yi|, och Chebyshev-distans d(x,y) = maxi |xi − yi|. Andra exempel inkluderar Hammingdistans mellan två strängar av lika längd.

Distansfunktioner används bland annat för att definiera näst-grann- och klustringsalgoritmer, mäta likhet i maskininlärning, constructa geografiska och grafstrukturer, samt för att studera konvergens och öppna bollar i olika rum.