Diracdeltafunktion

Die Diracdeltafunktion, oft als Dirac-Delta oder δ-Funktion bezeichnet, ist kein gewöhnlicher Funktionswert, sondern eine Distribution im Sinn der Verteilungstheorie. Sie wirkt auf glatte Funktionen mit kompaktem Träger durch δ(φ) = φ(0). Folglich erfüllt sie die Sifting-Eigenschaft: Für jede geeignete Funktion f gilt ∫_{-∞}^{∞} f(x) δ(x−a) dx = f(a) und insbesondere ∫ f(x) δ(x) dx = f(0). Die Normalisierung lautet ∫ δ(x) dx = 1; der Träger liegt bei 0.

δ kann als Grenzwert einer Folge von Funktionen dargestellt werden, etwa δ_ε(x) = (1/(√(2π) ε)) exp(-x^2/(2 ε^2)) mit ε→0, oder durch andere Approximationsidentitäten. Eine wichtige Transformationseigenschaft ist die Fourier-Transformation: F{δ(x)}(k) = 1; entsprechend ist F{δ(x−a)}(k) = e^{−i k a}.

In mehreren Dimensionen gilt δ^n(a x) = δ^n(x)/|a|^n. δ wird in Mathematik und Physik zur Modellierung von Punktquellen, impulsiven Kräften oder als Bestandteil von Green-Funktionen verwendet. In der Theorie spielt δ auch eine Rolle als Ableitung der Heaviside-Funktion: δ = dH/dx in der Distribution Sense.

Zusammengefasst ist die Diracdeltafunktion eine zentrale Verteilungsgröße, die Impulselemente modelliert, obwohl sie kein normales Funktionselement ist, und sie spielt eine zentrale Rolle in Analysis und Physik.