Differenzvektors

Differenzvektor. In der Geometrie bezeichnet der Differenzvektor den Vektor, der zwei Punkte A und B miteinander verbindet und von A nach B zeigt. Er wird oft mit AB notiert und entspricht in kartesischen Koordinaten der Differenz der zugehörigen Ortsvektoren: AB = B − A. Sind A und B Punkte in R3 mit A = (x1, y1, z1) und B = (x2, y2, z2), so lautet der Differenzvektor AB = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1). Die Länge dieses Vektors ist die Distanz der Punkte: |AB| = sqrt((x2 − x1)² + (y2 − y1)² + (z2 − z1)²).

Eigenschaften. Der Differenzvektor ist ein freier Vektor und unabhängig vom gewählten Ursprung. Er gilt gegen BA, also AB = −BA, und erfüllt AB + BC = AC, was dem transitiven Verschiebungsverhalten entspricht. Er verhält sich wie eine Verschiebung: Er gibt die Bewegung an, die nötig ist, um von A nach B zu gelangen.

Interpretation und Anwendungen. Der Differenzvektor entspricht der Verschiebung von A nach B. In der Physik und Kinematik beschreibt er Weg, Beharrung und Geschwindigkeit in zeitlicher Ableitung, in der Informatik und Computergraphik wird er zur Berechnung von Distanzen, Transformationen und Bewegungen genutzt. In abstrakten Räumen dient er als Element des zugehörigen Richtungsraums eines affinen Raums.

Zusammenfassung. Differenzvektoren liefern eine kompakte, originunabhängige Beschreibung der Verschiebung zwischen zwei Punkten und sind grundlegend für Messungen, Vektorrechnung und Bewegungsdarstellungen.