Diagonaalisoituvina

Diagonaalisoituvina tarkoittaa tilaa, jossa matriisi A voidaan muuntaa diagonaaliseksi sopivan muunnoksen kautta. Tarkemmin: matriisi A on diagonaalisoituvina, jos löytyy kääntyvä matriisi P sellaisesta, että P^{-1}AP = D, missä D on diagonaalinen matriisi. Tällöin A:lla on n lineaarisesti riippumatonta eigenvektoria ja P:n sarakkeet ovat nämä eigenvektorit; D = diag(λ1,...,λn) vastaa eigenarvoja λi.

Diagonaalisoituminen liittyy siihen, että matriisilla on peruslaajennus kiertääkseen itseään kohti ominaisarvojaan. Toisin sanoen A:lla on niin monta lineaarisesti riippumatonta evensvektoria kuin matriisin kertoja, ja P rakentuu näistä eigenvektoreista. Yleensä A on diagonaalisoituvina, jos se on sama kuin kolmiomorfinen muotonsa, jolloin D koostuu eigenarvoista.

Riippuvuudet ja kriteerit: A on diagonaalisoituvina yli kentän F, jos jokaiselle eigenarvolle λ sen geometrinen monikerta (dim eigenspace(A−λI)) on yhtä suuri kuin sen algebraalinen monikerta. Erityisesti yli C matriisi on diagonaalisoituvina, jos minimipolynomissa ei ole toistuvia juuri. Käytännössä, kun A:lla on riittävästi lineaarisesti itsenäisiä eigenvektoreita, M = [v1 ... vn], jossa Avk = λk vk, niin A = MDM^{-1}.

Esimerkkejä: identtinen matriisi ja kaikki diagonaaliset matriisit ovat diagonaalisoituvia. Esimerkki ei-diagonaalisoituvasta on 2×2 Jordan-lohko J = [[λ,1],[0,λ]].

Sovelluksia: diagonaalisoituminen helpottaa matriisifunktioiden ja potenssien laskua sekä ratkaisee lineaarisia differentiaaliyhtälöitä ja monet fysikaaliset tai laskennalliset ongelmat, joissa muuttujien erottaminen on hyödyllistä. Realisessa muodossa diagonaalisoituminen edellyttää usein reaalisten ominaisarvojen ja eigenvektoreiden olemassaoloa; kompleksisessa laajuudessa diagonaalisuus voi tapahtua, vaikka ominaisarvot olisivat kompleksisia.