Determinan

Determinan adalah bilangan skalar yang melekat pada matriks persegi A ∈ R^{n×n}. Secara umum, determinan menggambarkan faktor skala transformasi linear yang diberikan oleh A, sehingga volume objek berukuran n dimensi berubah sesuai determinan. Determinan juga menjadi penentu invertibilitas matriks: A dapat diinvers jika dan hanya jika determinan A tidak sama dengan nol.

Nilai determinan memiliki beberapa sifat penting: det(I) = 1; det(AB) = det(A) det(B); det(A^T) = det(A). Jika det(A) = 0 maka A tidak invertibel; menukar dua baris atau dua kolom mengganti tanda determinan; menambahkan kelipatan baris ke baris lain tidak mengubah determinan. Determinan adalah polinom multilinear dalam baris-barisnya dan berubah tanda jika dua baris atau kolom ditukar.

Metode perhitungan meliputi ekspansi Laplace dan eliminasi Gauss. Untuk matriks 2×2, det [[a,b],[c,d]] = ad − bc. Metode numerik sering menggunakan eliminasi Gauss dengan pivoting untuk ukuran besar.

Aplikasi determinan meliputi verifikasi solusi sistem persamaan linear (melalui aturan Cramer jika det ≠ 0), perolehan invers matriks, analisis kestabilan sistem, serta perhitungan volume paralelipiped yang dibentuk oleh kolom-kolom matriks. Secara historis, konsep determinan telah berkembang sejak abad ke-19 dan menjadi alat penting dalam aljabar linear dan berbagai bidang matematika terapan.