Deriverbarhet

Deriverbarhet är ett grundläggande begrepp inom analys som beskriver när en funktion har en derivata vid en viss punkt. Exakt definieras derivatan som gränsvärdet av differentialkvoten (f(x+h)−f(x))/h när h går mot noll. Om detta gränsvärde existerar kallas funktionen deriverbar vid x och derivatan f′(x) finns. Om f är deriverbar vid varje punkt i ett intervall sägs den vara deriverbar på intervallet.

Deriverbarhet är en lokal egenskap: en funktion kan vara deriverbar i nästan alla punkter men inte överallt. Påfallande exempel är f(x)=|x| som inte är deriverbar i x=0, trots att den är kontinuerlig där. Generellt följer att en deriverbar funktion är kontinuerlig vid varje deriverbar punkt.

Regler: om f och g är deriverbara vid x, så är f+g, f−g, f·g och f/g (med icke-noll denominator) deriverbara vid x, och derivatan följer reglerna för kedjeregel, produktregel och kvotregel. Kedjeregeln säger att derivatan av sammansatta funktioner är f′(g(x))·g′(x).

Användningar: deriverbarhet är centralt inom optimering, fysik, ekonomi och många områden av tillämpad matematik eftersom derivatan anger förändringshastigheter och riktningar för förbättringar.