Derivasjonen

Derivasjonen, eller differentiasjonen, er en grunnleggende operasjon i kalkulus som beskriver hvordan en funksjon f(x) endrer seg når den uavhengige variabelen x endrer seg. Den deriverte i et punkt x betegnes ofte som f′(x) eller Df(x), og kan defineres som grenseverdien f′(x) = lim_{h→0} (f(x+h) − f(x)) / h, forutsatt at grensen eksisterer. Funksjonen f er dermed differentiable i x, og f er kontinuerlig i dette punktet.

Geometrisk representerer den deriverte stigningstallet til tangenten til grafen y = f(x) i punktet (x, f(x)). Verdien beskriver hastigheten til endringen av f med hensyn til x og gir innsikt i funksjonens vekst eller avtagende, samt hvor bratt kurven er.

Notasjon og regler. Vanlige notasjoner inkluderer f′(x), df/dx og Df(x). Grunnleggende regler inkluderer konstantregelen (derivert av en konstant er 0), sumregelen (derivert av sum er sum av derivertene), produktregelen (uv)′ = u′v + uv′ og kjerneregelen (g∘f)′ = g′(f(x)) · f′(x). Mønstre for spesielle funksjoner inkluderer d/dx x^n = n x^{n−1}, d/dx e^x = e^x, og d/dx sin x = cos x (gjelder i radianer).

Historie og anvendelser. Derivasjon ble utviklet uavhengig av Isaac Newton og Gottfried Wilhelm Leibniz på 1600-tallet. Den brukes bredt i naturvitenskap, ingeniørfag og samfunnsvitenskap: hastighetsberegning, akselerasjon, optimering av kostnader og ressurser, samt analyse av kurver og modeller.

Begrensninger. En funksjon kan være kontinuerlig uten å være differentiabel i et punkt; for eksempel har en skarp hjørne eller cusp der grenseverdien ikke eksisterer. Differensierbarhet gir derfor en sterkere egenskap enn kontinuitet.