Densiteettimatriisillä

Densiteettimatriisillä tarkoitetaan kvanttitilojen yleistä esitystapaa, jossa tilaa kuvataan tilamatriisilla ρ. Se kattaa sekä puhtaat tilat että sekoitetut tilat, jolloin ρ kuvaa tilan epävarmuutta tai tilojen statistista sekoitusta. Matriisi ρ on n×n, se on hermiteerinen, positiivisesti semidefiniittinen ja sen tracetr(ρ) on 1.

Puhtaan tilan ρ = |ψ⟩⟨ψ| tapauksessa ρneliöytyy yhtä neliöitynä, eli ρ^2 = ρ, ja Tr(ρ^2) = 1. Sekoitettu tila antaa Tr(ρ^2) < 1. Yleisesti tilat voidaan esittää entsijäsekoituksina ρ = ∑i p_i |ψ_i⟩⟨ψ_i|, jossa p_i ≥ 0 ja ∑i p_i = 1.

Odotusarvojen ja mittausten laskeminen tapahtuu traniaalsita: odotusarvo ⟨A⟩ = Tr(ρ A). Todennäköisyydet mittaukselle, jolla mitta on projektorina Π_a, ovat p(a) = Tr(Π_a ρ). Näin densiteettimatriisi toimii sekä tilan kuvaajana että mittausten tulosten ennustajana.

Aikakehitys: suljetussa järjestelmässä tilan evoluutio seuraa von Neumannin yhtälöä dρ/dt = -(i/ħ)[H, ρ]. Avoimissa järjestelmissä käytetään yleisempiä dissipatiivisia malleja, kuten Lindbladin masteraoperaattori, jotka kuvaavat ympäristövaikutuksia: dρ/dt = -(i/ħ)[H, ρ] + ∑k (L_k ρ L_k† - 1/2 {L_k† L_k, ρ}).

Osajärjestelmien tiheysmatriisi saadaan osittaisella tracella: ρ_A = Tr_B ρ_AB. Density matrix -formalisma soveltuu kvantti-informaation, tilastollisten ilmiöiden sekä kvanttitomografian kuvaamiseen ja analysointiin. Esimerkiksi qubitin tilat voidaan esittää ρ = (I + r·σ)/2, jossa Blochin vektori r noudattaa |r| ≤ 1.