tiheysmatriisi

Tiheysmatriisi (density matrix) on kvanttisen systeemin tilan kuvaus, joka kattaa sekä puhtaat että epäpuhtaat tilat. Puhtaan tilan kuvaa ρ = |ψ⟩⟨ψ|. Epäpuhtaita tiloja edustaa ρ = ∑_i p_i |ψ_i⟩⟨ψ_i|, jossa p_i ovat todennäköisyyksiä ja ∑_i p_i = 1. Tilaa kuvaa siten sekä tilan yleinen koostumus että siihen liittyvä koherenssi.

Tiheysmatriisi on Hermitian, sen skaalat ovat ei-negatiivisia, ja sen on oltava jäännöksiltään 1, eli Tr(ρ) = 1. Lisäksi ρ on positiivisesti määräävä (ρ ≥ 0). Tilaa voidaan käyttää odotusarvojen laskemiseen: ⟨A⟩ = Tr(ρA) kaikille observabeleille A. Kun tarkastellaan alijärjestelmää, sen tilan kuvaa osittaisjäljitelmä ρ_A = Tr_B(ρ), missä Tr_B tarkoittaa jälkeentasausta järjestelmä B yli.

Aikakehitys: suljetulla systeemillä ρ:n aika-isku noudattaa von Neumannin yhtälöä ρ̇ = -(i/ħ)[H, ρ], jossa H on Hamiltonianto. Avoimissa järjestelmissä kehitys ei ole yksikertainen; tilat voivat edustaa täydellisesti positiivisia jäljitettäviä karttoja (CPTP-maps). Yleisesti käytetty malli on Lindbladin muodossa, joka tallentaa systeemin vuorovaikutuksen ympäristön kanssa.

Ominaisuudet: puhtaan tilan määrä voidaan mitata Tr(ρ^2)-arvolla; se on 1 puhtaassa tilassa ja pienempi kuin 1 epäpuhtaassa tilassa. Entropia S(ρ) = -Tr(ρ log ρ) kuvaa tilan epäjärjestystä. Kaksitasoisessa järjestelmässä ρ voidaan esittää Blochin kuvana ρ = (I + r·σ)/2, missä r on Blochin vektori ja |r| ≤ 1.

Mittaukset antavat todennäköisyydet P(M) = Tr(ρ P_M) projektoreille P_M. Tiheysmatriisi on keskeinen käsite kvanttitiedossa, kvanttisessa optiikassa ja avomenetelmien tutkimuksessa, koska se kokoaa tilan rakenteen ja dynamiikan yhteen joustavaan matriisiin.